太阳亮度变化对系外行星研究的启
42其实只是一个难解的数字
北极告急!“池塘”或诱发海冰崩
已知最长的史前人类行迹
高处不仅不胜寒,还可能不胜热

42其实只是一个难解的数字

2020-10-15 13:00 主页 来源:未知
42其实只是一个难解的数字

42究竟是宇宙的终极秘密,还是小说家随手写下的数字,又或者只是科学家练手的玩具?或许真实的情况是,42其实只是一个难解的数字,但并不是什么终极答案。

 


 

人们总是津津乐道于各种未解之谜。从1937年阿米莉亚·埃尔哈特(Amelia Earhart)在太平洋上空离奇失踪,到1962年三名囚犯,弗兰克·莫里斯(Frank Morris),约翰·安吉林(John Anglin)和克拉伦斯·安吉林(Clarence Anglin)传奇般地从美国加州的恶魔岛越狱,各种具有神秘色彩的故事充实了大众枯燥的生活。

当然,这些故事也不仅只来自真实历史。1979年,道格拉斯·亚当斯(Douglas Adams)发表了他五部系列科幻小说的第一本——《银河系漫游指南》。在这本小说的最后,名为“深思”的超级计算机揭示了关于“生命,宇宙以及万事万物”的“终极问题”的答案:“42”。

“深思”运行了整整750万年才计算出这个结果。但小说中制造出这台超级计算机的外星人令人大失所望,毕竟单纯一个数字并没有多大用处。不过,“深思”也告诉外星人,它们提出的问题太过笼统。要找到问题的准确表述,超级计算机需要耗费漫长的时间,对自己进行版本更新。而计算机的新版本便是地球。感兴趣的读者可以读一读亚当斯的书。

而数字“42”随后便成为了极客文化(反主流文化)的根基,引申出了不少典故和玩笑。比如你在搜索引擎里面输入“一切的答案是什么?”跳出来的回答多半是“42”。用其他语言(比如法语或德语)或是不同的搜索引擎,都能得到相同的结果。

从2013年开始,世界各地陆续建起了一系列名为“42网络”的计算机培训学校,这个名字显然引申自亚当斯的小说。时至今日,创办“42网络”的公司已经拥有超过15个教学基地。而在电影《蜘蛛侠:平行宇宙》中,同样出现了各种花样的“42”。如果你点进维基百科“42”词条,会发现更多有趣的典故。

实际上,关于42还有很多有趣的巧合,不过这些巧合为什么存在,可能就不得而知了。比如在古埃及神话中,当人死后成为灵魂时需要接受审判,死者需要向42名审判官表明自己没有犯下过42桩罪行中的任何一项。

而在另外的传说中,希腊人战胜波斯帝国之后,派使者菲迪皮德斯从马拉松回到雅典,走过的路程约为42.195公里,现代的马拉松比赛距离也是取自此处(而当时并没有“公里”这个单位)。

吐蕃有42代赞普,其中初代聂赤赞普于约公元前127年即位。末代赞普,也就是第42代赞普朗达玛在位时间从公元838年开始,结束于公元842年。而欧洲最早用活字印刷术出版的古腾堡圣经,每页有42行,所以又称为“四十二行圣经”。

今年3月6日,《经济学人》博客发表文章,纪念1978年《银河系漫游指南》系列最早问世的广播剧已达42周年(在此之后才发表了小说)。文章写道:“很少有人会纪念42周年”。

作者只是随手一写

很多人都想问,亚当斯的42究竟有什么意义?他在线上讨论群里简洁地回答了这个问题:“这是个玩笑。首先,我得找一个简单又短小的数字,然后我就决定是它了。二进制,十三进制,吐蕃赞普之类的推测全都是空穴来风。我当时就坐在写字台边,盯着花园,想了想,‘42就行了’。然后我就把它打了出来。就这么简单。”

在二进制中,42写作101010,看起来简约又巧妙。很多粉丝因此举办了一场聚会,时间就在2010年10月10日(10/10/10)。但十三进制下的解释就不那么明显了。你必须回答“六乘以九得多少?”才能得到线索,在十三进制下,(4 x 13) + 2 = 54。

除了这些计算机科学家无聊的牵强附会,以及在历史长河中找出来的某些巧合,到底42这个数字在数学上有什么特别之处呢?

数学上的独一无二?

42有不少有趣的数学性质。我们这里举出几个:

2的前三个奇数指数的和:21+ 23+ 25= 42。如果把这样的n个奇数次方的和作为一个数列a(n)(也就是说42= 2(3)),我们就得到了数列A105281。(OEIS这个网站是由数学家尼尔·斯隆创建的,专门搜集你想得到想不到的各种数列,你可以在上面用前几项检索)。在二进制下,这个数列的每一项其实就是把“10”写n遍(1010 ... 10)。数列的通项公式是 a(n) = (2/3)(4n – 1)。随着n增大,数字的密度会趋向于0。也就是说,这个数列里的数,包括42,其实相当地稀有。

42还是6的前两个正次方的和:61+ 62= 42。这里相对应的数列b(n),对应OEIS的A105281,通项公式为b(0) = 0, b(n) = 6b(n – 1) + 6。数的密度在无穷远处也趋向于0。

42是一个卡塔兰数。这种数也十分稀有,一百万以下的卡塔兰数只有14个,比质数少得多。欧拉当时是为了解答“凸n边形可以分解为多少个三角形”这个问题,才引入了这一概念。数列开头几项为1, 1, 2, 5, 14, 42, 132...可以在OEIS的A000108中找到。通项公式为c(n) = (2n)! / (n!(n + 1)! )。跟前两个数列一样,数的密度也无限趋近于0.

42也是一个相当“实用”的数字,因为1和42之间的任何整数,比如20,都可以像这样分解为:20=14+6,其中14和6都可以整除42(即42的因子),其他1到42的数也一样,它们都能表示为42的不同因子的和。这样的“实用”数字前几项为:1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72(A005153)。目前我们还不清楚这个数列的通项公式。

甚是有趣,可惜这并不能说明42在数学上有任何独特的意义。它的邻居41和43也具有许多奇妙的性质。你只需要在维基百科中搜索任何一个数字,就能找到关于它的各种不同性质。

那么我们怎么才能判断某个数有趣与否呢?我和两名合作伙伴:数学家与心理学家尼古拉斯·高维特(Nicolas Gauvrit),计算学家赫克托·泽尼尔(Hector Zenil),曾经研究过这个问题。我们也试图往柯氏复杂性这方面走,但最终结果表明,OEIS中收录的数列其实主要还是来自人们的喜好。

三个数的立方和

计算机科学家和数学家们偶尔也会对42感兴趣,不过对他们来说,这只是闲暇时的小游戏,即使换个数字也能玩。不过,前不久的一则新闻吸引了他们的注意。这便是“三立方和”问题,在这个问题中,42比其他100以下的数都更具有挑战性。

这个问题是这样的:如何判断一个数n能否分解为n = a3+ b3+ c3的形式?又该如何找到这样的a,b,c?由于abc有可能是负数,所以它们的组合是无穷无尽的,不像平方和。平方和分解出来的数绝对值必然小于原数,因而组合是有限的;并且给定一个数,我们可以肯定地判断它能否分解为平方和。

而对于立方和来说,其分解可能会大的离谱,比如156,这个数字的分解是在2007年发现的:

在分解之前,首先要注意到一个问题,那就是,形如9m+4和9m+5的数是无法分解的(像4,5,13,14,22,23)。

为了说明找到解有多难,我们先举两个例子,n=1和n=2。

n=1的时候很简单:

13+ 13+ (–1)3= 1

那还有别的分解吗?答案是肯定的:

93+ (–6)3+ (–8)3= 729 + (–216) + (–512) = 1

解还不只这些。1936年,德国数学家库尔特·马勒(Kurt Mahler)发现,对于任何p,下面这个式子都成立:

(9p4)3+ (3p – 9p4)3+ (1 – 9p3)3= 1

证明相当简单,只需要用到中学学过的二项式展开:

(A + B)3= A3+ 3A2B + 3AB2 + B3

对于n=2,也存在无穷多个解。下面的式子是1908年由A. S.韦雷布鲁索夫(A. S. Werebrusov)发现的:

(6p3 + 1)3+ (1 – 6p3)3+ (–6p2)3= 2

只要在上式两边乘上一个完全立方数(r3),我们就能得到:对于任何完全立方数和完全立方数的两倍,都有无穷个解。

比如说16,它是2的 23倍,那么取p=1的话,就有

143+ (–10)3+ (–12)3= 16

n=3时,我们已知的解只有两个(截至2019年8月)

13+ 13+ 13= 3; 43+ 43+ (–5)3= 3

那么自然我们就要问:除了上面已经证明无法分解的数以外,其他数是不是都能分解?

计算机的劳动

为了回答这个问题,数学家开始挨着验证除了9m+4和9m+5以外的数字1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16 ... (A060464)。要是前面这些数字能找到解的话,那这样的分解就很有可能是普遍存在的。

目前为止,兢兢业业的计算机以及计算机网络为这项问题的研究提供了不少结果。而最终我们又回到了42。

2009年,两名德国数学家,安德烈亚斯·斯蒂芬·埃尔森汉斯(Andreas-Stephan Elsenhans )和约格·贾内尔(J rg Jahnel)使用了一种由哈佛大学的诺姆·埃尔基斯(Noam Elkies)于2000年提出的方法,对1000以内的n,寻找所有1014以内的“三立方和”问题中的a,b,c。大多数n都得到了解答,除了33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975。而100以内的,就只有33,42和74。

2016年,桑德·惠斯曼(Sander Huisman)(如今就职于荷兰特温特大学),找到了74的解:

2019年,英国布里斯托大学的安德鲁·布克(Andrew Bookder)找到了33的解

至此,道格拉斯·亚当斯的42已经是100以内仅剩的未解数字。要是解不存在,42可真就是与众不同了。不过,计算机还没有放弃,它们继续寻找着答案。

答案在2020年终于揭晓,前文提到的布克,以及MIT的安德鲁·萨瑟兰(Andrew Sutherland)是主要功臣。通过慈善引擎平台,使用了可对等于超过一百万小时的计算时间,终于得到了结果:

165,795和906也在近日宣告解决。现在1000以下只剩114, 390, 579, 627, 633, 732, 921, 975了。

现在看来,除了9m + 4 和9m + 5 以外的所有数字很有可能都存在分解。1992年,牛津大学的罗杰·希思-布朗(Roger Heath-Brown)还提出了一条更强的猜想:他猜测这种分解对于每个数而言都是无穷的。不过,目前为止,我们离证明这些猜想还有很长距离。

这个问题实在是太难了。一般说来,没有任何算法可以遍历全部可能。比如说,早在1936年,艾伦·图灵(Alan Turing)就证明了,没有任何算法能解决全部电脑程序的停机问题。不过现在问题的领域,已经到了易于描述的的纯数学。假如我们能证明这个问题的不确定性,那也将是向前迈进的一大步。